PARAMETRAGE DU MOUVEMENT

	CONTENU : Mis à jour 27/09/2001, revu sept 2011 I Anomalie excentrique j Définition Paramétrage de l'ellipse II Position - vitesse en fonction de l'anomalie excentrique Repère périfocal Calcul de r et V en fonction de l'anomalie excentrique Même rubrique pour l'hyperbole

Jusqu'à présent, dans l'étude des mouvements képlériens, vous avez pu constater que la variable temps a été soigneusement évitée, et pour cause: il a été démontré qu'on ne pouvait pas exprimer la solution par des fonctions élémentaires du temps.

Dans ce chapitre, nous introduisons une variable intermédiaire j qui permet de relier les principales variables au temps t.

I ANOMALIE EXCENTRIQUE j:

1°) DEFINITION DE L'ANOMALIE EXCENTRIQUE j :

On appelle S' l'image de S, le satellite en orbite elliptique, dans l'affinité orthogonale d'axe P, de rapport a/b.

L'ANOMALIE EXCENTRIQUE est l'angle j entre IP et IS', mesuré positivement dans le sens du mouvement.

Une révolution complète est réalisée quand j varie de 0 à 2p. Nous constatons que la correspondance j <--> q est biunivoque.

Lors de la résolution de problèmes numériques ou informatiques, mettant en jeu l'angle j, il faudra se montrer précis.

2°) PARAMETRAGE DE L'ELLIPSE :

On travaille dans le triangle OHS. Nous commençons par le rayon vecteur obtenu par le théorème de Pythagore

L'angle q est aisé à calculer :

On se doute bien que le temps t, que nous avons évité jusqu'à présent, demande un calcul plus complexe. Nous devons revenir à une équation déduite de la conservation de l'énergie, établie "en passant" dans un cours précédent.

De laquelle nous éliminons le temps pour obtenir :

Enfin en remplaçant r par son expression en fonction de j et en tenant compte du fait que la dérivée de j est >0, il vient :

tp désigne une heure de passage au périgée. Nous rassemblons toutes ces relations dans le tableau suivant.

REMARQUE IMPORTANTE :La relation qui donne la dérivée de j est souvent très utile dans les problèmes informatiques, lorsqu'on souhaite opérer des intégrations par rapport au temps. Elle permet un changement de variable.

ANOMALIE MOYENNE :: On appelle ainsi la quantité M; n est le moyen mouvement, relié à la période T que l'on retrouve par :

3°) Quelques relations classiques pour l'ellipse:

Nous laissons au lecteur le soin d'établir ou de se renseigner sur les relations suivantes, mettant en jeu j.

Pente g de la vitesse
Anomalie vraie q
Anomalie excentrique j

II POSITION-VITESSE EN FONCTION DE j :

Dans la plupart des études informatiques, il est nécessaire de travailler avec les vecteurs position r et vitesse V, que nous allons calculer dans la base périfocale PQW en fonction de j.

1°) REPERE PERIFOCAL :

On appelle ainsi le repère d'origine O centre du corps principal, d'axes P unitaire de la direction du périgée, W unitaire du moment cinétique et Q qui complète la base directe PQW

2°) CALCUL DE r et V en fonction de j , cas elliptique:

Nous utilisons des calculs réalisés plus haut sur les mesures de OH et HS et la dérivée de j.:

Par dérivation par rapport au temps on obtient la vitesse V, puisque les vecteurs P et Q sont fixes en hypothèse képlérienne.

Dans un cours ultérieur nous donnerons les composantes des vecteurs de base P Q W en fonction des paramètres orbitaux angulaires.

Conclusions :

3°) CALCUL DE r et V en fonction de j , cas hyperbolique:

Les relations ci-dessus s'adaptent naturellement facilement au cas d'une trajectoire hyperbolique.

Naturellement toute une série de relations existent reliant position, anomalie vraie q et anomalie excentrique j.

Guiziou Robert décembre 2001, sept 2011

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